Найдите корень уравнения log₂(11 — х) = 4log₂5.

Решение

1. Запишем ОДЗ (область допустимых значений).

ОДЗ записываем на основе следующего правила:

а^х = N, log_a (N) = x. Число а (основание логарифма) и N (число) можно брать и целыми и дробным, но обязательно положительными.

11 — х > 0,   -х > — 11, х < 11

2. ОДЗ нашли, теперь осталось найти корень уравнения.

Для преобразования данного уравнения будем использовать следующую формулу: log_c(a^m) = m· log_c(a)

log₂(11 — х)  = log₂(5⁴)

Уберем логарифмы и приравняем то, что стоит под логарифмами (это можно сделать в том случае, если основания равны, как в нашем случае):

11 — х = 5⁴

-х = 5⁴ — 11

-х = 625 – 11

-x = 614

x = — 614 — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: — 614

Найдите корень уравнения log₂(18 — 6х) = 4log₂3.

Решение

1. Запишем ОДЗ (область допустимых значений).

ОДЗ записываем на основе следующего правила:

а^х = N, log_a (N) = x. Число а (основание логарифма) и N (число) можно брать и целыми и дробным, но обязательно положительными.

18 — 6х > 0,   -6х > — 18, х < 18/6, х < 3

2. ОДЗ нашли, теперь осталось найти корень уравнения.

Для преобразования данного уравнения будем использовать следующую формулу: log_c(a^m) = m· log_c(a)

log₂(18 — 6х) = log₂(3⁴)

Уберем логарифмы и приравняем то, что стоит под логарифмами (это можно сделать в том случае, если основания равны, как в нашем случае):

18 — 6х = 3⁴

-6х = 3⁴ — 18

-6х = 81 – 18

-6x = 63

x = 63/(-6) = — 10,5  — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: — 10,5

Найдите корень уравнения log₅(5 — 5х) = 2log₅2.

Решение

1. Запишем ОДЗ (область допустимых значений).

ОДЗ записываем на основе следующего правила:

а^х = N, log_a (N) = x. Число а (основание логарифма) и N (число) можно брать и целыми и дробным, но обязательно положительными.

5 — 5х > 0,   -5х > — 5, х < 1

2. ОДЗ нашли, теперь осталось найти корень уравнения.

Для преобразования данного уравнения будем использовать следующую формулу: log_c(a^m) = m· log_c(a)

log₅(5 — 5х) = log₅(2²)

Уберем логарифмы и приравняем то, что стоит под логарифмами (это можно сделать в том случае, если основания равны, как в нашем случае):

5 — 5х = 2²

-5х = 2² — 5

— 5х = 4 – 5

-5x = -1

x = — 1/(-5) = 0,2  — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 0,2

Найдите корень уравнения log₂(4 — х) = 2log₂5.

Решение

1. Запишем ОДЗ (область допустимых значений).

ОДЗ записываем на основе следующего правила:

а^х = N, log_a (N) = x. Число а (основание логарифма) и N (число) можно брать и целыми и дробным, но обязательно положительными.

4 — х > 0,   — х > — 4, х < 4

2. ОДЗ нашли, теперь осталось найти корень уравнения.

Для преобразования данного уравнения будем использовать следующую формулу: log_c(a^m) = m· log_c(a)

log₂(4 — х) = log₂(5²)

Уберем логарифмы и приравняем то, что стоит под логарифмами (это можно сделать в том случае, если основания равны, как в нашем случае):

4 — х = 5²

— х = 5² — 4

— х = 25 – 4

-x = 21

x = — 21 — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: — 21

Найдите корень уравнения log₄(8 — 5х)= 2log₄3.

Решение

1. Запишем ОДЗ (область допустимых значений).

ОДЗ записываем на основе следующего правила:

а^х = N, log_a (N) = x. Число а (основание логарифма) и N (число) можно брать и целыми и дробным, но обязательно положительными.

8 — 5х > 0,   -5х > -8, х < 8/5, х < 1,6

2. ОДЗ нашли, теперь осталось найти корень уравнения.

Для преобразования данного уравнения будем использовать следующую формулу: log_c(a^m) = m· log_c(a)

log₄(8 — 5х)= log₄(3²)

Уберем логарифмы и приравняем то, что стоит под логарифмами (это можно сделать в том случае, если основания равны, как в нашем случае):

8 — 5х = 3²

— 5х = 3² — 8

-5х = 9 – 8

-5x = 1

x = -1/5 = — 0,2 — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: — 0,2

Найдите корень уравнения  = 4

Решение

1. Найдем область допустимых значений. Мы знаем, что выражение, стоящее под корнем должно быть не отрицательным, поэтому:

26 – 2х ≥ 0, -2х ≥ -26, 2х ≤ 26, х ≤ 26/2 , х ≤ 13

2. Для решения данного уравнения возведем обе части в квадрат:

( ) ² = 4²

26 – 2х = 16

-2х = 16 — 26

-2х = -10

х = 10/2

х = 5 – удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 5

Найдите корень уравнения  = 5

Решение

1. Найдем область допустимых значений. Мы знаем, что выражение, стоящее под корнем должно быть не отрицательным, поэтому:

37 – 4х ≥ 0, -4х ≥ -37, 4х ≤ 37, х ≤ 37/4 , х ≤ 9,25

2. Для решения данного уравнения возведем обе части в квадрат:

( ) ² = 5²

37 – 4х = 25

-4х = 25 — 37

-4х = -8

х = 8/4

х = 2 – удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 2

Найдите корень уравнения  = 6

Решение

1. Найдем область допустимых значений. Мы знаем, что выражение, стоящее под корнем должно быть не отрицательным, поэтому:

41 – 5х ≥ 0, -5х ≥ -41, 5х ≤ 41, х ≤ 41/5 , х ≤ 8,2

2. Для решения данного уравнения возведем обе части в квадрат:

( ) ² = 6²

41 – 5х = 36

-5х = 36 — 41

-5х = -5

х = 5/5

х = 1 – удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 1

Найдите корень уравнения = 4

Решение

1. Найдем область допустимых значений. Мы знаем, что выражение, стоящее под корнем должно быть не отрицательным, поэтому:

31 – 5х ≥ 0, -5х ≥ -31, 5х ≤ 31, х ≤ 31/5 , х ≤ 6,2

2. Для решения данного уравнения возведем обе части в квадрат:

( ) ² = 4²

31 – 5х = 16

-5х = 16 — 31

-5х = -15

х = 15/5

х = 3 – удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 3

Найдите корень уравнения  = 2

Решение

1. Найдем область допустимых значений. Мы знаем, что выражение, стоящее под корнем должно быть не отрицательным, поэтому:

22 – 3х ≥ 0, -3х ≥ -22, 3х ≤ 22, х ≤ 22/3     (22/3 ≈ 7,3)

2. Для решения данного уравнения возведем обе части в квадрат:

( ) ² = 2²

22 – 3х = 4

-3х = 4 — 22

-3х = -18

х = 18/3

х = 6 – удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 6