Задание
Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 153 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по крайней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.
- Всего вопросов в викторине — 50, тогда получим следующее 1-ое уравнение:
Х+Y+Z = 50
- В результате викторины ученик набрал 153 очка (за правильный ответ получал 9 очков; за неправильный с него списывали 17 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков), поэтому второе уравнение примет следующий вид:
9Х-17Y+0Z = 153
9Х-17Y = 153
9Х-153 = 17Y
9(Х-17) = 17Y
Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 9, а это значит, что и правая часть делится на 9, то есть 17У делится на 9. Рассмотрим следующие случаи:
Y = 9, тогда 9*(Х-17) = 17Y = 17*9 ⇒ 9*(Х-17) = 153 ⇒ Х-17 = 17 ⇒ Х = 34. Тогда 34+9+Z = 50 ⇒ Z = 7
Y=18, тогда 9*(Х-17) = 17Y = 17*18 ⇒ 9*(Х-17) = 306 ⇒ Х-17 = 34 ⇒ Х=51. Тогда 51+18+Z ≠ 50 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи. Делаем вывод, что ученик дал 34 правильных ответа.
Ответ: 34
