Архивы категории: Задание 14 (Профильный уровень)

Задание 14 (№ 3977)

Найдите наибольшее значение функции y = 3х2 – 13х + 7lnх + 5 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: (lnx) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, хn = n·  хn-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 3х2 – 13х + 7lnх + 5:

y = (3х2 – 13х + 7lnх + 5) = (3х2) — (13х) + (7lnх) + (5) = 6х – 13 + 7/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

6х – 13 + 7/х = 0

(6х2 – 13х + 7) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2 – 13х + 7 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х1 = 14/12

Х2 = 1

  1. Получили две стационарные точки. Точка Х1 = 14/12 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13 / 14 и х = 15 / 14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = 3·(1)2 – 13·1 + 7ln1 + 5 = -5

у(13/14) = 3·(13/14)2 – 13·13/14 + 7ln(13/14) + 5 ≈ -5,003

у(15/14) = 3 · (15/14)2 – 13·15/14 + 7ln(15/14) + 5 ≈ -5,002

  1. Делаем вывод, что

у = -5 —  наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: -5

Задание 14 (№ 3975)

Найдите наибольшее значение функции y = х2 – 13х + 11lnх + 12 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: (lnx) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, хn = n·  хn-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х2 – 13х + 11lnх + 12:

y = (х2 – 13х + 11lnх + 12) = (х2) — (13х) + (11lnх) + (12) = 2х – 13 + 11/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

2х – 13 + 11/х = 0

(2х2 – 13х + 11) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2 – 13х + 11 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х1 = 5,5

Х2 = 1

  1. Получили две стационарные точки. Точка Х1 = 5,5 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13 / 14 и х = 15 / 14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = (1)2 – 13·1 + 11ln1 + 12 = 0

у(13/14) = (13/14)2 – 13·13/14 + 11ln(13/14) + 12 ≈ -0,02

у(15/14) = (15/14)2 – 13·15/14 + 11ln(15/14) + 12 ≈ -0,02

  1. Делаем вывод, что

у = 0 —  наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: 0

Задание 14 (№ 3973)

Найдите наименьшее значение функции y = х2 – 3х + lnх + 3 на отрезке [3/4;5/4].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: (lnx) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, хn = n·  хn-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х2 – 3х + lnх + 3:

y = (х2 – 3х + lnх + 3) = (х2) — (3х) + (lnх) + (3) = 2х – 3 + 1/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

2х – 3 + 1/х = 0

(2х2 – 3х + 1) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2 – 3х + 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х1 = 1 / 2

Х2 = 1

  1. Получили две стационарные точки. Данные точки лежит в рассматриваемом отрезке [3/4;5/4]. Поэтому в этих точках и точках на концах отрезка, а именно в точках х = 3 / 4 и х = 5 / 4 будем определять значение функции. А затем просто выберем наименьшее.

у(1/2) = (1/2)2 – 3·1/2 + ln(1/2) + 3 ≈ 1,05

у(1) = (1)2 – 3·1 + ln1 + 3 = 1

у(3/4) = (3/4)2 – 3·3/4 + ln(3/4) + 3 ≈ 1,02

у(5/4) = (5/4)2 – 3·5/4 + ln(5/4) + 3 ≈ 1,04

  1. Делаем вывод, что

у = 1 —  наименьшее значение функции на отрезке [3/4;5/4].

Ответ: 1

Задание 14 (№ 3861)

Найдите наименьшее значение функции y = 7 – ln(х+4)7 на отрезке [-3,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (7х – ln(х+4)7 :

y = (7х – ln(х+4)7) = (7х) — (ln(х+4)7) = 7 – (1/(х+4)7 ) ·(х+4)7 = 7 – (1/(х+4)7 ) · 7 · (х+4)6 = 7 – 7/(х + 4)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

7 – 7/(х + 4) = 0

– 7/(х + 4) = -7

х + 4 = -7/-7

х + 4 = 1

х = -3

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-3,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-3) = 7 · (-3) – ln(-3+4)7  = -21 —  ln1 = -21 — 0 = -21

  1. у = -21 — наименьшее значение функции на отрезке [-3,5;0].

Ответ: -21

Задание 14 (№ 3859)

Найдите наименьшее значение функции y =8 – ln(х+2)8 на отрезке [-1,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (8х – ln(х+2)8 :

y = (8х – ln(х+2)8) = (8х) — (ln(х+2)8) = 8 – (1/(х+2)8 ) ·(х+2)8 = 8 – (1/(х+2)8 ) · 8 · (х+2)7 = 8 – 8/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8 – 8/(х + 2) = 0

– 8/(х + 2) = -8

х + 2 = -8/-8

х + 2 = 1

х = -1

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 8 · (-1) – ln(-1+2)8  = -8 —  ln1 = -8 — 0 = -16

  1. у = -8 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -8

Задание 14 (№ 3857)

Найдите наименьшее значение функции y =8 – ln(х+3)8 на отрезке [-2,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (8х – ln(х+3)8 :

y = (8х – ln(х+3)8) = (8х) — (ln(х+3)8) = 8 – (1/(х+3)8 ) ·(х+3)8 = 8 – (1/(х+3)8 ) · 8 · (х+3)7 = 8 – 8/(х + 3)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8 – 8/(х + 3) = 0

– 8/(х + 3) = -8

х + 3 = -8/-8

х + 3 = 1

х = -2

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-2,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-2) = 8 · (-2) – ln(-2+3)8  = -16 —  ln1 = -16 — 0 = -16

  1. у = -16 — наименьшее значение функции на отрезке [-2,5;0].

Ответ: -16

Задание 14 (№ 3855)

Найдите наименьшее значение функции y = 3х – ln(х+2)3 на отрезке [-1,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (3х – ln(х+2)3 :

y = (3х – ln(х+2)3) = (3х) — (ln(х+2)3) = 3 – (1/(х+2)3 ) ·(х+2)3 = 3 – (1/(х+2)3 ) · 3 · (х+2)2 = 3 – 3/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

3 – 3/(х + 2) = 0

– 3/(х + 2) = -3

х + 2 = -3/-3

х + 2 = 1

х = -1

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 3 · (-1) – ln(-1+2)3  = -3 —  ln1 = -3 — 0 = -3

  1. у = -3 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -3

 

Задание 14 (№ 3853)

Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)4 на отрезке [-7,5;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (4х – ln(х+8)4 :

y = (4х – ln(х+8)4) = (4х) — (ln(х+8)4) = 4 – (1/(х+8)4 ) ·(х+8)4 = 4 – (1/(х+8)4 ) · 4 · (х+8)3 = 4 – 4/(х + 8)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

4 – 4/(х + 8) = 0

– 4/(х + 8) = -4

х + 8 = -4/-4

х + 8 = 1

х = -7

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-7,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-7) = 4 · (-7) – ln(-7+8)4  = -28 —  ln1 = -28 — 0 = -28

  1. у = -28 — наименьшее значение функции на отрезке [-7,5;0].

Ответ: -28

Задание 14 (№ 3781)

Найдите точку максимума функции y = (х + 11) · е х – 11

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 11)eх – 11:

y = ((х + 11)eх – 11) = (х + 11) · eх – 11 + (х + 11) · (eх – 11) = (х+ 11) · eх – 11 + (х + 11) · (eх – 11) · (х – 11) = (1 + 0) · eх – 11 + (х + 11) · eх – 11 · (х — 11) = eх – 11 + (х + 11) · eх – 11 · (1 – 0) = eх – 11(1 + х + 11) = eх – 11(х + 12)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 11(х + 12) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 12 = 0

х = -12

  1. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -12

 

Задание 14 (№ 3779)

Найдите точку максимума функции y = (х + 12) · е х – 12

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 12)eх – 12:

y = ((х + 12)eх – 12) = (х + 12) · eх – 12 + (х + 12) · (eх – 12) = (х+ 12) · eх – 12 + (х + 12) · (eх – 12) · (х – 12) = (1 + 0) · eх – 12 + (х + 12) · eх – 12 · (х — 12) = eх – 12 + (х + 12) · eх – 12 · (1 – 0) = eх – 12(1 + х + 12) = eх – 12(х + 13)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 12(х + 13) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 13 = 0

х = -13

  1. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -13

Adblock detector