Найдите наибольшее значение функции y = 3х² – 13х + 7lnх + 5 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная от простых математических функций: (lnx) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , хⁿ = n·  х^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 3х² – 13х + 7lnх + 5:

y^‘ = (3х² – 13х + 7lnх + 5)^‘ = (3х²)^‘ — (13х)^‘ + (7lnх)^‘ + (5)^‘ = 6х – 13 + 7/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

6х – 13 + 7/х = 0

(6х² – 13х + 7) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

6х² – 13х + 7 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х₁ = 14/12

Х₂ = 1

5. Получили две стационарные точки. Точка Х₁ = 14/12 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13 / 14 и х = 15 / 14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = 3·(1)² – 13·1 + 7ln1 + 5 = -5

у(13/14) = 3·(13/14)² – 13·13/14 + 7ln(13/14) + 5 ≈ -5,003

у(15/14) = 3 · (15/14)² – 13·15/14 + 7ln(15/14) + 5 ≈ -5,002

6. Делаем вывод, что

у = -5 —  наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: -5

Найдите наибольшее значение функции y = х² – 13х + 11lnх + 12 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная от простых математических функций: (lnx) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , хⁿ = n·  х^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х² – 13х + 11lnх + 12:

y^‘ = (х² – 13х + 11lnх + 12)^‘ = (х²)^‘ — (13х)^‘ + (11lnх)^‘ + (12)^‘ = 2х – 13 + 11/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

2х – 13 + 11/х = 0

(2х² – 13х + 11) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2х² – 13х + 11 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х₁ = 5,5

Х₂ = 1

5. Получили две стационарные точки. Точка Х₁ = 5,5 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13 / 14 и х = 15 / 14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = (1)² – 13·1 + 11ln1 + 12 = 0

у(13/14) = (13/14)² – 13·13/14 + 11ln(13/14) + 12 ≈ -0,02

у(15/14) = (15/14)² – 13·15/14 + 11ln(15/14) + 12 ≈ -0,02

6. Делаем вывод, что

у = 0 —  наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: 0

Найдите наименьшее значение функции y = х² – 3х + lnх + 3 на отрезке [3/4;5/4].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная от простых математических функций: (lnx) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , хⁿ = n·  х^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х² – 3х + lnх + 3:

y^‘ = (х² – 3х + lnх + 3)^‘ = (х²)^‘ — (3х)^‘ + (lnх)^‘ + (3)^‘ = 2х – 3 + 1/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

2х – 3 + 1/х = 0

(2х² – 3х + 1) / х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть  х ≠ 0, поэтому

2х² – 3х + 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х₁ = 1 / 2

Х₂ = 1

5. Получили две стационарные точки. Данные точки лежит в рассматриваемом отрезке [3/4;5/4]. Поэтому в этих точках и точках на концах отрезка, а именно в точках х = 3 / 4 и х = 5 / 4 будем определять значение функции. А затем просто выберем наименьшее.

у(1/2) = (1/2)² – 3·1/2 + ln(1/2) + 3 ≈ 1,05

у(1) = (1)² – 3·1 + ln1 + 3 = 1

у(3/4) = (3/4)² – 3·3/4 + ln(3/4) + 3 ≈ 1,02

у(5/4) = (5/4)² – 3·5/4 + ln(5/4) + 3 ≈ 1,04

6. Делаем вывод, что

у = 1 —  наименьшее значение функции на отрезке [3/4;5/4].

Ответ: 1

Найдите наименьшее значение функции y = 7 – ln(х+4)⁷ на отрезке [-3,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (7х – ln(х+4)⁷ :

y^‘ = (7х – ln(х+4)⁷)^‘ = (7х)^‘ — (ln(х+4)⁷)^‘ = 7 – (1/(х+4)⁷ ) ·(х+4)^7‘ = 7 – (1/(х+4)⁷ ) · 7 · (х+4)⁶ = 7 – 7/(х + 4)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

7 – 7/(х + 4) = 0

– 7/(х + 4) = -7

х + 4 = -7/-7

х + 4 = 1

х = -3

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-3,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-3) = 7 · (-3) – ln(-3+4)⁷  = -21 —  ln1 = -21 — 0 = -21

6. у = -21 — наименьшее значение функции на отрезке [-3,5;0].

Ответ: -21

Найдите наименьшее значение функции y =8 – ln(х+2)⁸ на отрезке [-1,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (8х – ln(х+2)⁸ :

y^‘ = (8х – ln(х+2)⁸)^‘ = (8х)^‘ — (ln(х+2)⁸)^‘ = 8 – (1/(х+2)⁸ ) ·(х+2)^8‘ = 8 – (1/(х+2)⁸ ) · 8 · (х+2)⁷ = 8 – 8/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8 – 8/(х + 2) = 0

– 8/(х + 2) = -8

х + 2 = -8/-8

х + 2 = 1

х = -1

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 8 · (-1) – ln(-1+2)⁸  = -8 —  ln1 = -8 — 0 = -16

6. у = -8 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -8

Найдите наименьшее значение функции y =8 – ln(х+3)⁸ на отрезке [-2,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (8х – ln(х+3)⁸ :

y^‘ = (8х – ln(х+3)⁸)^‘ = (8х)^‘ — (ln(х+3)⁸)^‘ = 8 – (1/(х+3)⁸ ) ·(х+3)^8‘ = 8 – (1/(х+3)⁸ ) · 8 · (х+3)⁷ = 8 – 8/(х + 3)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8 – 8/(х + 3) = 0

– 8/(х + 3) = -8

х + 3 = -8/-8

х + 3 = 1

х = -2

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-2,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-2) = 8 · (-2) – ln(-2+3)⁸  = -16 —  ln1 = -16 — 0 = -16

6. у = -16 — наименьшее значение функции на отрезке [-2,5;0].

Ответ: -16

Найдите наименьшее значение функции y = 3х – ln(х+2)³ на отрезке [-1,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (3х – ln(х+2)³ :

y^‘ = (3х – ln(х+2)³)^‘ = (3х)^‘ — (ln(х+2)³)^‘ = 3 – (1/(х+2)³ ) ·(х+2)^3‘ = 3 – (1/(х+2)³ ) · 3 · (х+2)² = 3 – 3/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

3 – 3/(х + 2) = 0

– 3/(х + 2) = -3

х + 2 = -3/-3

х + 2 = 1

х = -1

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 3 · (-1) – ln(-1+2)³  = -3 —  ln1 = -3 — 0 = -3

6. у = -3 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -3

Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)⁴ на отрезке [-7,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (4х – ln(х+8)⁴ :

y^‘ = (4х – ln(х+8)⁴)^‘ = (4х)^‘ — (ln(х+8)⁴)^‘ = 4 – (1/(х+8)⁴ ) ·(х+8)^4‘ = 4 – (1/(х+8)⁴ ) · 4 · (х+8)³ = 4 – 4/(х + 8)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

4 – 4/(х + 8) = 0

– 4/(х + 8) = -4

х + 8 = -4/-4

х + 8 = 1

х = -7

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-7,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-7) = 4 · (-7) – ln(-7+8)⁴  = -28 —  ln1 = -28 — 0 = -28

6. у = -28 — наименьшее значение функции на отрезке [-7,5;0].

Ответ: -28

Найдите точку максимума функции y = (х + 11) · е ^{х – 11}

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘ = e^x ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 11)e^{х – 11}:

y^‘ = ((х + 11)e^{х – 11})^‘ = (х + 11)^‘ · e^{х – 11} + (х + 11) · (e^{х – 11})^‘ = (х^‘+ 11^‘) · e^{х – 11} + (х + 11) · (e^{х – 11})^‘ · (х – 11)^‘ = (1 + 0) · e^{х – 11} + (х + 11) · e^{х – 11} · (х^‘ — 11^‘) = e^{х – 11} + (х + 11) · e^{х – 11} · (1 – 0) = e^{х – 11}(1 + х + 11) = e^{х – 11}(х + 12)

5. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^{х – 11}(х + 12) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 12 = 0

х = -12

6. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -12

Найдите точку максимума функции y = (х + 12) · е ^{х – 12}

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘ = e^x ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 12)e^{х – 12}:

y^‘ = ((х + 12)e^{х – 12})^‘ = (х + 12)^‘ · e^{х – 12} + (х + 12) · (e^{х – 12})^‘ = (х^‘+ 12^‘) · e^{х – 12} + (х + 12) · (e^{х – 12})^‘ · (х – 12)^‘ = (1 + 0) · e^{х – 12} + (х + 12) · e^{х – 12} · (х^‘ — 12^‘) = e^{х – 12} + (х + 12) · e^{х – 12} · (1 – 0) = e^{х – 12}(1 + х + 12) = e^{х – 12}(х + 13)

5. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^{х – 12}(х + 13) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 13 = 0

х = -13

6. Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -13