y=7-ln(х+4)7 найдите наименьшее значение функции на отрезке [-3,5;0]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=7-ln(х+4)⁷ на отрезке [-3,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках.
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)
• Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(7х–ln(х+4)⁷ :

y^‘ = (7х–ln(х+4)⁷)^‘ = (7х)^‘-(ln(х+4)⁷)^‘ = 7–(1/(х+4)⁷)·(х+4)^7′ = 7–(1/(х+4)⁷)·7·(х+4)⁶ = 7–7/(х+4)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

7–7/(х+4) = 0
-7/(х+4) = -7
х+4 = -7/-7
х+4 = 1
х = -3

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-3,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-3) = 7·(-3)-ln(-3+4)⁷ = -21-ln1 = -21-0 = -21

у = -21 это наименьшее значение функции на отрезке [-3,5;0].

Ответ: -21