y=3х^2–13х+7lnх+5 найдите наибольшее значение функции

Задание

Найдите наибольшее значение функции y = 3х²–13х+7lnх+5 на отрезке [13/14;15/14].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

Находим производную от данной функции;
Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
Находим значение данной функции в выбранных точках.
Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

-Производная от простых математических функций: (lnx) ^‘= 1 / х ; С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С·х^‘, хⁿ = n·х^n-1, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 3х² – 13х + 7lnх + 5:

y^‘ = (3х² – 13х + 7lnх + 5)^‘ = (3х²)^‘ — (13х)^‘ + (7lnх)^‘ + (5)^‘ = 6х – 13 + 7/х

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

6х–13+7/х = 0
(6х²–13х+7)/х = 0

Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть х ≠ 0, поэтому

6х²–13х+7 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:

Х₁ = 14/12
Х₂ = 1

Получили две стационарные точки. Точка Х₁ = 14/12 не лежит в рассматриваемом отрезке [13/14;15/14], поэтому в ней значение функции находить не будем. А будем находить значение функции в точке х = 1 и в точках на концах отрезка, а именно в точках х = 13/14 и х = 15/14. А затем просто выберем наибольшее.

у(1) = 3·(1)²–13·1+7ln1+5 = -5
у(13/14) = 3·(13/14)²–13·13/14+7ln(13/14)+5 ≈ -5,003
у(15/14) = 3·(15/14)²–13·15/14+7ln(15/14)+5 ≈ -5,002

Делаем вывод, что у = -5 наибольшее значение функции на отрезке [13/14;15/14].

Ответ: -5