y=3х-ln(х+2)^3 найдите наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=3х-ln(х+2)³ на отрезке [-1,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках.
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)
• Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (3х – ln(х+2)³ :

y^‘ = (3х – ln(х+2)³)^‘ = (3х)^‘ — (ln(х+2)³)^‘ = 3 – (1/(х+2)³ ) ·(х+2)^3‘ = 3 – (1/(х+2)³ ) · 3 · (х+2)² = 3 – 3/(х + 2)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

3-3/(х+2) = 0
-3/(х+2) = -3
х+2 = -3/-3
х+2 = 1
х = -1

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-1,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-1) = 3·(-1)-ln(-1+2)³ = -3-ln1 = -3-0 = -3

у = -3 — наименьшее значение функции на отрезке [-1,5;0].

Ответ: -3