Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)^4

Задание

Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)⁴ на отрезке [-7,5;0].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

1. Находим производную от данной функции;
2. Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
3. Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
4. Находим значение данной функции в выбранных точках.
5. Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.

В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ * g +  g ^‘ * f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) *  g ^‘ (x)
• Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С * х)^‘  = С * х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

С помощью выше перечисленных формул находим производную исходной функции y = (4х – ln(х+8)⁴ :

y^‘ = (4х – ln(х+8)⁴)^‘ = (4х)^‘ — (ln(х+8)⁴)^‘ = 4 – (1/(х+8)⁴ ) * (х+8)^4′ = 4 – (1/(х+8)⁴ ) * 4 * (х+8)³ = 4 – 4 / (х + 8 )

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

4 – 4 / ( х + 8 ) = 0
– 4 / ( х + 8 ) = -4
х + 8 = (-4) / (-4)
х + 8 = 1
х = -7

Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-7,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-7) = 4 * (-7) – ln(-7+8)⁴  = -28 —  ln1 = -28 — 0 = -28
у = -28 — наименьшее значение функции на отрезке [-7,5;0].

Ответ: -28