Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)^4

Задание

Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)4 на отрезке [-7,5;0].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

  1. Находим производную от данной функции;
  2. Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
  3. Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  4. Находим значение данной функции в выбранных точках.
  5. Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.

В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

  • Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f * g +  g * f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) *  g (x)
  • Производная от простых математических функций: (lnХ) = 1 / х ; С= 0; x = 0; (С * х) = С * х, (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.

С помощью выше перечисленных формул находим производную исходной функции y = (4х – ln(х+8)4 :

y = (4х – ln(х+8)4) = (4х) — (ln(х+8)4) = 4 – (1/(х+8)4 ) * (х+8)4′ = 4 – (1/(х+8)4 ) * 4 * (х+8)3 = 4 – 4 / (х + 8 )

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

4 – 4 / ( х + 8 ) = 0
– 4 / ( х + 8 ) = -4
х + 8 = (-4) / (-4)
х + 8 = 1
х = -7

Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-7,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-7) = 4 * (-7) – ln(-7+8)4  = -28 —  ln1 = -28 — 0 = -28
у = -28 — наименьшее значение функции на отрезке [-7,5;0].

Ответ: -28

smartrepetitor.ru
Adblock
detector