Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)⁴ на отрезке [-7,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (4х – ln(х+8)⁴ :

y^‘ = (4х – ln(х+8)⁴)^‘ = (4х)^‘ — (ln(х+8)⁴)^‘ = 4 – (1/(х+8)⁴ ) ·(х+8)^4‘ = 4 – (1/(х+8)⁴ ) · 4 · (х+8)³ = 4 – 4/(х + 8)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

4 – 4/(х + 8) = 0

– 4/(х + 8) = -4

х + 8 = -4/-4

х + 8 = 1

х = -7

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-7,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-7) = 4 · (-7) – ln(-7+8)⁴  = -28 —  ln1 = -28 — 0 = -28

6. у = -28 — наименьшее значение функции на отрезке [-7,5;0].

Ответ: -28