Задание
Найдите наименьшее значение функции y = 4х – ln(х+8)4 на отрезке [-7,5;0].
Решение
Данная задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках.
- Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ * g + g ‘ * f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная сложной функции: (f(g(x))) ‘ = f ‘ (g(x)) * g ‘ (x)
- Производная от простых математических функций: (lnХ) ‘ = 1 / х ; С‘ = 0; x‘ = 0; (С * х)‘ = С * х‘ , (х + с)n = n(х + с)n-1, где С – постоянное число.
С помощью выше перечисленных формул находим производную исходной функции y = (4х – ln(х+8)4 :
y‘ = (4х – ln(х+8)4)‘ = (4х)‘ — (ln(х+8)4)‘ = 4 – (1/(х+8)4 ) * (х+8)4′ = 4 – (1/(х+8)4 ) * 4 * (х+8)3 = 4 – 4 / (х + 8 )
Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
4 – 4 / ( х + 8 ) = 0
– 4 / ( х + 8 ) = -4
х + 8 = (-4) / (-4)
х + 8 = 1
х = -7
Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-7,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.
у(-7) = 4 * (-7) – ln(-7+8)4 = -28 — ln1 = -28 — 0 = -28
у = -28 — наименьшее значение функции на отрезке [-7,5;0].
Ответ: -28