y=8-ln(х+3)8 найдите наименьшее значение функции на отрезке [-2,5;0]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=8-ln(х+3)⁸ на отрезке [-2,5;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках.
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
3. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)
• Производная от простых математических функций: (lnХ) ^‘ = 1 / х ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (х + с)ⁿ = n(х + с)^n-1, где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(8х–ln(х+3)⁸ :

y^‘= (8х-ln(х+3)⁸)^‘ = (8х)^‘-(ln(х+3)⁸)^‘ = 8-(1/(х+3)⁸)·(х+3)^8′ = 8-(1/(х+3)⁸)·8·(х+3)⁷ = 8-8/(х+3)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

8-8/(х+3) = 0
-8/(х + 3) = -8
х+3 = -8/-8
х+3 = 1
х = -2

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [-2,5;0]. Поэтому в этой точке и будем определять значение функции.

у(-2) = 8·(-2)-ln(-2+3)⁸ = -16-ln1 = -16-0 = -16

у = -16 — наименьшее значение функции на отрезке [-2,5;0].

Ответ: -16