Найдите наименьшее значение функции y = х2 – 3х + lnх + 3 на отрезке [3/4;5/4].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
1)Находим производную от данной функции;
2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
4)Находим значение данной функции в выбранных точках.
5)Выбираем среди них и в точках на концах отрезка наименьшее или наибольшее значение функции, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
-Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
-Производная от простых математических функций: (lnx) ‘ = 1 / х ; С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , хn = n· хn-1, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции y = х2 – 3х + lnх + 3:
y‘ = (х2 – 3х + lnх + 3)‘ = (х2)‘ — (3х)‘ + (lnх)‘ + (3)‘ = 2х – 3 + 1/х
Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
2х – 3 + 1/х = 0
(2х2 – 3х + 1) / х = 0
Знаменатель у дроби равен нулю быть не может, то есть х ≠ 0, поэтому
2х2 – 3х + 1 = 0
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Получим:
Х1 = 1 / 2
Х2 = 1
- Получили две стационарные точки. Данные точки лежит в рассматриваемом отрезке [3/4;5/4]. Поэтому в этих точках и точках на концах отрезка, а именно в точках х = 3 / 4 и х = 5 / 4 будем определять значение функции. А затем просто выберем наименьшее.
у(1/2) = (1/2)2 – 3·1/2 + ln(1/2) + 3 ≈ 1,05
у(1) = (1)2 – 3·1 + ln1 + 3 = 1
у(3/4) = (3/4)2 – 3·3/4 + ln(3/4) + 3 ≈ 1,02
у(5/4) = (5/4)2 – 3·5/4 + ln(5/4) + 3 ≈ 1,04
- Делаем вывод, что
у = 1 — наименьшее значение функции на отрезке [3/4;5/4].
Ответ: 1