y=(х+12)*е^х–12 найдите точку максимума функции

Задание

Найдите точку максимума функции y=(х+12)·е^х–12

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

Находим производную от данной функции;

Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

Находим значение данной функции в выбранных точках.

Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

Производная сложной функции: (f(g(x))) ^‘= f ^‘ (g(x)) · g ^‘ (x)

Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘= e^x ; С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С · х^‘, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(х+12)e^х–12:

y^‘=((х+12)e^х–12)^‘ = (х+12)^‘·e^х–12+(х+12)·(e^х–12)^‘ = (х^‘+12^‘)·e^х–12+(х+12)·(e^х–12)^‘·(х–12)^‘=(1+0)·e^х–12+(х+12)·e^х–12·(х^‘-12^‘) = e^х–12+(х+12)·e^х–12·(1–0) = e^х–12(1+х+12) = e^х–12(х+13)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^х–12(х+13) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х+13 = 0
х = -13

Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -13