В сосуде 810 мл, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты

Задание

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объем сосуда 810 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V=1/3*h*S_ocн=1/3*h*π*(D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

• объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/3  высоты – V_1/3,
• объем конуса, равный объему сосуда – V_сосуд

3. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 3 раза, так как высота треугольника АSВ в 3 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
4. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_сосуд = 1/3*h*π*(D/2)²

6. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_1/3 = 1/3*h/3*π*(D/2/3)² = (1/3*h*π*(D/2)²)/(3*9) = V_сосуд/27

7. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V_1/3 = V_сосуд/27 = 810/27 = 30 мл.

Ответ: 30