Условие
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/7 высоты. Объем жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение
- Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:
V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.
- Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:
объем конуса, у которого уровень жидкости равен 2/7 высоты – Vмен,
объем конуса, наполненный доверху – Vбол
- Нам известно, что высота большего конуса в 7/2 раза больше высоты меньшего.
- Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
- Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А‘SВ‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А‘В‘ в 7/2 раза, так как высота треугольника АSВ в 7/2 раза больше высоты треугольника А‘SВ‘.
- АВ и А‘В‘ являются диаметрами оснований конусов.
- Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:
Vбол = 1/3 · h · π · (D/2)2
- Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:
Vмен = 1/3 · h/(7/2) · π · (D/2/(7/2))2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (7/2 · 49/4) = Vбол / 42,875 = 40 мл
- Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:
Vбол / 42,875 = 40 мл
Vбол = 40 · 42,875 = 1715 мл
- Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:
Vбол – Vмен = 1715 – 40 = 1675 мл необходимо долить.
Ответ: 1675 мл
