В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты

Задание

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3 * h * S_ocн = 1/3 * h * π * (D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – V_мен,

объем конуса, наполненный доверху – V_бол

3. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего.
4. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
5. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в два раза, так как высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
6. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов.
7. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3 * h * π * (D/2)²

8. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3 * h/2 * π * (D/2/2)² = (1/3 * h * π * (D/2)²) / (2 * 4) = V_бол / 8 = 20 мл

9. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

V_бол / 8 = 20 мл

V_бол = 20 * 8 = 160 мл

10. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

V_бол – V_мен = 160 – 20 = 140 мл необходимо долить.

Ответ: 140