Задача 13 (№ 1749) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 3/4 высоты. Объем сосуда равен 1680 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

1749

Решение

  1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · Socн = 1/3 · h · π · (D/2)2.

  1. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 3/4  высоты – V3/4,

объем конуса, равный объему сосуда – Vсосуд

  1. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания АВ в 4/3 раза, так как высота треугольника АSВ в 4/3 раза больше высоты треугольника А.
  2. АВ и АВ являются диаметрами оснований конусов.
  3. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

Vсосуд = 1/3 · h · π · (D/2)2

  1. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V3/4= 1/3 · h/(4/3) · π · (D/2/(4/3))2 = (1/3 · h · π · (D/2)2) / (4/3 · 16/9) = Vсосуд / (4/3 · 16/9)

  1. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V3/4= Vсосуд / (4/3 · 16/9) = 1680 / (4/3 · 16/9) = 708,75 мл

Ответ: 708,75 мл