Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax²  + bx, где a = -1/280 м^-1,  b = 4/7 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

1. Определим высоту, на которой должен пролететь камень. Эта высота равна высоте стене плюс 1 метр:

9 + 1 = 10 – необходимая высота полета камня над землей (у)

2. Подставим найденную высоту и все известные параметры в формулу y = ax²  + bx, тем самым найдем наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр:

10 = -1/280 · x²  + 4/7 · x

1/280х² – 4/7х + 10 = 0

Разделим всё на 1/280:

х²  — 160 + 2800 = 0

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ = 20 м

х₂ = 140 м

3. Нам нужно найти наибольшее расстояние, поэтому

х = 140 м — наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр.

Ответ: 50

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax²  + bx, где a = -1/100 м^-1,  b = 1 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

1. Определим высоту, на которой должен пролететь камень. Эта высота равна высоте стене плюс 1 метр:

8 + 1 = 9 – необходимая высота полета камня над землей (у)

2. Подставим найденную высоту и все известные параметры в формулу y = ax²  + bx, тем самым найдем наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр:

7 = -1/100 · x²  + 2 · x

1/100х² – 2х + 9 = 0

Разделим всё на 1/100:

х²  — 200 + 900 = 0

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ = 40 м

х₂ = 50 м

3. Нам нужно найти наибольшее расстояние, поэтому

х = 50 м — наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр.

Ответ: 50

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax²  + bx, где a = -1/100 м^-1,  b = 4/5 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 6 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

1. Определим высоту, на которой должен пролететь камень. Эта высота равна высоте стене плюс 1 метр:

6 + 1 = 7 – необходимая высота полета камня над землей (у)

2. Подставим найденную высоту и все известные параметры в формулу y = ax²  + bx, тем самым найдем наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр:

7 = -1/100 · x²  + 4/5 · x

1/100х² – 4/5х + 7 = 0

Разделим всё на 1/100:

х²  — 80 + 700 = 0

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ = 10 м

х₂ = 70 м

3. Нам нужно найти наибольшее расстояние, поэтому

х = 70 м — наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр.

Ответ: 70

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax²  + bx, где a = -1/60 м^-1,  b = 7/6 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

1. Определим высоту, на которой должен пролететь камень. Эта высота равна высоте стене плюс 1 метр:

9 + 1 = 10 – необходимая высота полета камня над землей (у)

2. Подставим найденную высоту и все известные параметры в формулу y = ax²  + bx, тем самым найдем наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр:

10 = -1/60 · x²  + 7/6 · x

1/60х² – 7/6х + 10 = 0

Разделим всё на 1/60:

х²  — 70 + 600 = 0

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ = 10 м

х₂ = 60 м

3. Нам нужно найти наибольшее расстояние, поэтому

х = 60 м — наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр.

Ответ: 60

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax²  + bx, где a = -1/100 м^-1,  b = 7/10 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

1. Определим высоту, на которой должен пролететь камень. Эта высота равна высоте стене плюс 1 метр:

9 + 1 = 10 – необходимая высота полета камня над землей (у)

2. Подставим найденную высоту и все известные параметры в формулу y = ax²  + bx, тем самым найдем наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр:

10 = -1/100 · x²  + 7/10 · x

1/100х² – 7/10х + 10 = 0

Разделим всё на 1/100:

х²  — 70 + 1000 = 0

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ = 20 м

х₂ = 50 м

3. Нам нужно найти наибольшее расстояние, поэтому

х = 50 м — наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр.

Ответ: 50

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax²  + bx, где a = -1/100 м^-1,  b = 4/5 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 14 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение

1. Определим высоту, на которой должен пролететь камень. Эта высота равна высоте стене плюс 1 метр:

14 + 1 = 15 – необходимая высота полета камня над землей (у)

2. Подставим найденную высоту и все известные параметры в формулу y = ax²  + bx, тем самым найдем наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр:

15 = -1/100 · x²  + 4/5 · x

1/100х² – 4/5х + 15 = 0

Разделим всё на 1/100:

х²  — 80 + 1500 = 0

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

х₁ = 50 м

х₂ = 30 м

3. Нам нужно найти наибольшее расстояние, поэтому

х = 50 м — наибольшее расстояние от машины до стены, при котором камень пролетит над стеной на высоте не менее 1 метр.

Ответ: 50

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону  H(t) = at²  + bt + H₀, где H₀ = 6,25 м — начальный уровень воды, a = 1/100 м/мин², и b = -1/2 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение

1. По истечению воды из бака высота столба станет равной 0, то есть H(t) = 0.
2. Подставим все известные значения величин в формулу H(t) = at² + bt + H₀ и найдем, за какое время вода вытечет из бака, то есть H(t) станет равным 0:

H(t) = at²  + bt + H₀

0 = (1/100) · t²  — 1/2 · t + 6,25

(1/100) · t²  — 1/2 · t + 6,25 = 0

Разделим всё на 1/100:

t² – 50t + 625 = 0

Решим данное квадратное уравнение по теореме Виета.

t₁ = 25

t₂ = 25

25 минут будет вытекать вода из бака.

Ответ: 25

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону  H(t) = at²  + bt + H₀, где H₀ = 2 м — начальный уровень воды, a = 1/5000 м/мин², и b = -1/25 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение

1. По истечению воды из бака высота столба станет равной 0, то есть H(t) = 0.
2. Подставим все известные значения величин в формулу H(t) = at² + bt + H₀ и найдем, за какое время вода вытечет из бака, то есть H(t) станет равным 0:

H(t) = at²  + bt + H₀

0 = (1/5000) · t²  — 1/25 · t + 2

(1/5000) · t²  — 1/25 · t + 2 = 0

Разделим всё на 1/5000:

t² – 200t + 10000 = 0

Решим данное квадратное уравнение по теореме Виета.

t₁ = 100

t₂ = 100

100 минут будет вытекать вода из бака.

Ответ: 100

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону  H(t) = at²  + bt + H₀, где H₀ = 6 м — начальный уровень воды, a = 1/600 м/мин², и b = -1/5 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение

1. По истечению воды из бака высота столба станет равной 0, то есть H(t) = 0.
2. Подставим все известные значения величин в формулу H(t) = at² + bt + H₀ и найдем, за какое время вода вытечет из бака, то есть H(t) станет равным 0:

H(t) = at²  + bt + H₀

0 = (1/600) · t²  — 1/5 · t + 6

(1/600) · t²  — 1/5 · t + 6 = 0

Разделим всё на 1/600:

t² – 120t + 3600 = 0

Решим данное квадратное уравнение по теореме Виета.

t₁ = 60

t₂ = 60

60 минут будет вытекать вода из бака.

Ответ: 60

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону  H(t) = at²  + bt + H₀, где H₀ = 2 м — начальный уровень воды, a = 1/200 м/мин², и b = -1/5 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Решение

1. По истечению воды из бака высота столба станет равной 0, то есть H(t) = 0.
2. Подставим все известные значения величин в формулу H(t) = at² + bt + H₀ и найдем, за какое время вода вытечет из бака, то есть H(t) станет равным 0:

H(t) = at²  + bt + H₀

0 = (1/200) · t²  — 1/5 · t + 2

(1/200) · t²  — 1/5 · t + 2 = 0

Разделим всё на 1/200:

t² – 40t + 400 = 0

Решим данное квадратное уравнение по теореме Виета.

t₁ = 20

t₂ = 20

20 минут будет вытекать вода из бака.

Ответ: 20