В треугольнике АВС АВ=ВС, медиана ВМ равна 4

Задание

В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна 8√5. Найдите длину стороны АВ.

Решение

1. Треугольник АВС – равнобедренный, так как АВ=ВС (по условию). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. В нашей задаче данной медианой является ВМ.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АМВ (угол ВМА прямой, так как ВМ высота). Площадь данного треугольника равно половине произведения катетов, а также половине площади треугольника АВС:

S_АМВ = 1/2ВМ*АМ = 1/2* S_АВС
1/2*4*АМ = 1/2*8√5
2*АМ = 4√5
АМ = 4√5/2 = 2√5

3. По теореме Пифагора найдем АВ (из прямоугольного треугольника АМВ):

АВ² = ВМ²+АМ² = 4²+(2√5)² = 16+20 = 36
АВ=√36
АВ=6

Ответ: 6