Архивы категории: Задание 11 (Профильный уровень)

Задание 11 (№ 28079)

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  P = m( v2 /L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте  g=10 м/с 2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 108,9 см? Ответ выразите в м/с.

Решение

  1. Сида давления должна быть в верхней точке больше или равна 0. Следовательно, при силе давления, равной 0, будет наименьшая скорость, при которой вода не выльется.
  2. Переведем длину веревки в метры (в 1 метре 100 см):

108,9 см = 1,089 м

  1. Выразим из формулы P = m(v2 /L – g) скорость:

v2 /L – g = Р / m

v2 /L = Р / m + g

v2 = (Р / m + g) · L

  1. Подставим все известные значения и найдем наименьшею скорость, при которой вода не выльется при длине веревки 1,089м:

v2 = (Р / m + g) · L = (0 / m + 10) · 1,089 = 10,89

v = 3,3 м/с – наименьшая скорость.

Ответ: 3,3

Задание 11 (№ 28077)

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  P = m( v2 /L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте  g=10 м/с 2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение

  1. Сила давления должна быть в верхней точке больше или равна 0. Следовательно, при силе давления, равной 0, будет наименьшая скорость, при которой вода не выльется.
  2. Переведем длину веревки в метры (в 1 метре 100 см):

40 см = 0,4 м

  1. Выразим из формулы P = m(v2 /L – g) скорость:

v2 /L – g = Р / m

v2 /L = Р / m + g

v2 = (Р / m + g) · L

  1. Подставим все известные значения и найдем наименьшею скорость, при которой вода не выльется при длине веревки 4м:

v2 = (Р / m + g) · L = (0 / m + 10) · 0,4 = 4

v = 2 м/с – наименьшая скорость.

Ответ: 2

 

Задание 11 (№ 28075)

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  P = m( v2 /L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте  g=10 м/с 2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 160 см? Ответ выразите в м/с.

Решение

  1. Сида давления должна быть в верхней точке больше или равна 0. Следовательно, при силе давления, равной 0, будет наименьшая скорость, при которой вода не выльется.
  2. Переведем длину веревки в метры (в 1 метре 100 см):

160 см = 1,6 м

  1. Выразим из формулы P = m(v2 /L – g) скорость:

v2 /L – g = Р / m

v2 /L = Р / m + g

v2 = (Р / m + g) · L

  1. Подставим все известные значения и найдем наименьшею скорость, при которой вода не выльется при длине веревки 1,6м:

v2 = (Р / m + g) · L = (0 / m + 10) · 1,6 = 16

v = 4 м/с – наименьшая скорость.

Ответ: 4

Задание 11 (№ 28073)

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  P = m( v2 /L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте  g=10 м/с 2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 122,5 см? Ответ выразите в м/с.

Решение

  1. Сида давления должна быть в верхней точке больше или равна 0. Следовательно, при силе давления, равной 0, будет наименьшая скорость, при которой вода не выльется.
  2. Переведем длину веревки в метры (в 1 метре 100 см):

122,5 см = 1,225 м

  1. Выразим из формулы P = m(v2 /L – g) скорость:

v2 /L – g = Р / m

v2 /L = Р / m + g

v2 = (Р / m + g) · L

  1. Подставим все известные значения и найдем наименьшею скорость, при которой вода не выльется при длине веревки 1,225м:

v2 = (Р / m + g) · L = (0 / m + 10) · 1,225 = 12,25

v = 3,5 м/с – наименьшая скорость.

Ответ: 3,5

Задание 11 (№ 28071)

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна  P = m( v2 /L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте  g=10 м/с 2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 62,5 см? Ответ выразите в м/с.

Решение

  1. Сида давления должна быть в верхней точке больше или равна 0. Следовательно, при силе давления, равной 0, будет наименьшая скорость, при которой вода не выльется.
  2. Переведем длину веревки в метры (в 1 метре 100 см):

62,5 см = 0,625 м

  1. Выразим из формулы P = m( v2 /L – g) скорость:

v2 /L – g = Р / m

v2 /L = Р / m + g

v2 = (Р / m + g) · L

  1. Подставим все известные значения и найдем наименьшею скорость, при которой вода не выльется при длине веревки 0,625м:

v2 = (Р / m + g) · L = (0 / m + 10) · 0,625 = 62,5

v = 2,5 м/с – наименьшая скорость.

Ответ: 2,5

Задание 11 (№ 28069)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=2 + 7t — 5t2,  где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Решение

  1. Найдем время, когда мяч находится на высоте 4 метра:

4 = 2 + 7t — 5t2

5t2 – 7t – 2 + 4 = 0

5t2 – 7t + 2 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b2 – 4ac

D = 72 – 4 · 5 · 2 = 9

t1,2  =( -b ±  ) / 2a

t1 = (7 + 3) / 10 = 1 секунда

t2 = (7 – 3) / 10 = 0,4 секунды.

  1. Проанализируем получившейся результат:

Мяч бросают з земли, следовательно, в момент времени t = 0,4 секунды  мяч находится на высоте 4 м, двигаясь снизу вверх. В момент времени t = 1 секунды мяч находится на высоте 4 м, двигаясь вниз к земле.  Значит, в промежутки этого интервала мяч находился на высоте не менее 4 м:

1– 0,4 = 0,8 секунды мяч находился на высоте не менее 4 м.

Ответ: 0,8

 

Задание 11 (№ 28067)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,8 + 10t — 5t2,  где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 5 метров?

Решение

  1. Найдем время, когда мяч находится на высоте 5 метра:

5 = 1,8 + 10t — 5t2

5t2 – 10t – 1,8 + 5 = 0

5t2 – 10t + 3,2 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b2 – 4ac

D = 102 – 4 · 5 · 3,2 = 36

t1,2  =( -b ±  ) / 2a

t1 = (10 + 6) / 10 = 1,6 секунды

t2 = (10 – 6) / 10 = 0,4 секунды.

  1. Проанализируем получившейся результат:

Мяч бросают з земли, следовательно, в момент времени t = 0,4 секунды  мяч находится на высоте 5 м, двигаясь снизу вверх. В момент времени t = 1,6 секунды мяч находится на высоте 5 м, двигаясь вниз к земле.  Значит, в промежутки этого интервала мяч находился на высоте не менее 5 м:

1,6  – 0,4 = 1,2 секунды мяч находился на высоте не менее 5 м.

Ответ: 1,2

 

Задание 11 (№ 28065)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1 + 12t — 5t2,  где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 5 метров?

Решение

  1. Найдем время, когда мяч находится на высоте 5 метра:

5 = 1 + 12t — 5t2

5t2 – 12t — 1 + 5 = 0

5t2 – 12t + 4 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b2 – 4ac

D = 122 – 4 · 5 · 4 = 64

t1,2  =( -b ±  ) / 2a

t1 = (12 + 8) / 10 = 2 секунды

t2 = (12 – 8) / 10 = 0,4 секунды.

  1. Проанализируем получившейся результат:

Мяч бросают з земли, следовательно, в момент времени t = 0,4 секунды  мяч находится на высоте 5 м, двигаясь снизу вверх. В момент времени t = 2 секунды мяч находится на высоте 5 м, двигаясь вниз к земле.  Значит, в промежутки этого интервала мяч находился на высоте не менее 5 м:

2  – 0,4 = 1,6 секунды мяч находился на высоте не менее 5 м.

Ответ: 1,6

 

Задание 11 (№ 28063)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,6 + 13t — 5t2,  где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Решение

  1. Найдем время, когда мяч находится на высоте 3 метра:

4 = 1,6 + 13t — 5t2

5t2 – 13t — 1,6 + 4 = 0

5t2 – 13t + 2,4 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b2 – 4ac

D = 132 – 4 · 5 · 2,4  = 121

t1,2  =( -b ±  ) / 2a

t1 = (13 + 11) / 10 = 2,4 секунд

t2 = (13 – 11) / 10 = 0,2 секунды.

  1. Проанализируем получившейся результат:

Мяч бросают з земли, следовательно, в момент времени t = 0,2 секунды  мяч находится на высоте 4 м, двигаясь снизу вверх. В момент времени t = 2,4 секунд мяч находится на высоте 4 м, двигаясь вниз к земле.  Значит, в промежутки этого интервала мяч находился на высоте не менее 4 м:

2,4  – 0,2 = 2,2 секунды мяч находился на высоте не менее 4 м.

Ответ: 2,2

Задание 11 (№ 28061)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,2 + 10t — 5t2,  где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение

  1. Найдем время, когда мяч находится на высоте 3 метра:

3 = 1,2 + 10t — 5t2

5t2 – 10t — 1,2 +3 = 0

5t2 – 10t + 1,8 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b2 – 4ac

D = 102 – 4 · 5 · 1,8 = 64

t1,2  =( -b ±  ) / 2a

t1 = (10 + 8) / 10 = 1,8 секунд

t2 = (10 – 8 ) / 10 = 0,2 секунды.

  1. Проанализируем получившейся результат:

Мяч бросают з земли, следовательно, в момент времени t = 0,2 секунды  мяч находится на высоте 3 м, двигаясь снизу вверх. В момент времени t = 1,8 секунд мяч находится на высоте 3 м, двигаясь вниз к земле.  Значит, в промежутки этого интервала мяч находился на высоте не менее 3 м:

1,8 – 0,2 = 1,6 секунды мяч находился на высоте не менее 3 м.

Ответ: 1,6