В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, cosA=4/5, ВС=3, СН – высота

Задание

В треугольнике ABC угол C равен 90⁰, cos A = 4/5, ВС = 3, СН – высота. Найдите АН.

Решение

1. Рассмотрим треугольник АВС. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом С. В данном треугольнике известны катет ВС и косинус угла А.

2. Найдем синус угла А из основного тригонометрического тождества  sin²A+cos²A=1:

sin²A = 1-cos²A = 1-(4/5)² = 1-16/25 = 9/25
sinА = 3/5

3. Из определения синуса угла А найдем гипотенузу АВ.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе

sinsА = ВС/АВ
АВ = ВС/sinA
АВ = 3/(3/5) = 5

4. На основе теоремы Пифагора найдем катет АС.

Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе.

АВ² = ВС²+АС²
-АС² = -АВ²+ВС²
АС² = АВ²-ВС²
АС² = 5²-3²=25-9 = 16
АС=4

5. Рассмотрим треугольник АНС. Он прямоугольный с прямым углом Н. В данном треугольнике известны гипотенуза АС и косинус угла А.

6. Из определения косинуса найдем катет НС.

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosА = АН/АС
АН = АС*cos A
АН = 4*4/5 = 16/5 = 3,2

Ответ: 3,2