Объем конуса — 135, точка делит высоту в отношении 1:2

Задание

Объем конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношение 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса, проведенной плоскостью.

Решение

1. Объем конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Основанием конуса является круг, тогда объем конуса равен:

V = 1/3*S_{основания}*h =1/3*π*D²/4*h

2. Для удобства введем буквенные обозначения (так как представлено на рисунке). Треугольники АВС и АНМ – подобны по трем углам. Из подобия треугольников следует:

ВС:НМ = AO:AS = 1:3 (из условия AO:OS = 1:2), получаем НМ = 3*ВС, AS = 3*AO

3. Тогда объём изначального конуса равен:

V₁ = 1/3*π*D²/4*h = 1/3*π*НМ²*АS =1/3*π*(3*BC)²*(3*AO) = 135

4. Объём второго конуса (отсекаемого от исходного) равен:

V₂ = 1/3*π*D²/4*h = 1/3*π*ВС²*AO

5. Определим, во сколько раз объем изначального конуса больше объема отсекаемого. Для этого разделим объем первого конуса на объем второго:

V₁/V₂ = (1/3*π*(3*BC)²*(3*AO))/(1/3*π*ВС²*AO) = 27

В 27 раза объем изначального конуса больше объема отсекаемого.

6. Осталось найти объем конуса, отсекаемого от исходного конуса, проведенной плоскостью:

V₂ = V₁/27 = 135/27 = 5 – объем конуса, отсекаемого от исходного конуса.

Ответ: 5