Условие:
Объем конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношение 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса, проведенной плоскостью.

Решение:
- Объем конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Основанием конуса является круг, тогда объем конуса равен:
V = 1/3 Sоснования · h =1/3 πD2/4 · h
- Для удобства введем буквенные обозначения (так как представлено на рисунке).
- Треугольники АВС и АНМ – подобны по трем углам. Из подобия треугольников следует:
ВС : НМ = AO : AS = 1 : 3 (по условию), получаем
НМ = 3ВС
AS = 3AO
- Тогда объём изначального конуса равен:
V1 = 1/3 πD2/4 · h = 1/3 π · НМ2 · АS =1/3 π · (3BC)2 · (3AO) = 27
- Объём второго конуса (отсекаемого от исходного) равен:
V2 = 1/3 πD2/4 · h = 1/3 π · ВС2 · AO
- Определим, во сколько раз объем изначального конуса больше объема отсекаемого. Для этого разделим объем первого конуса на объем второго:
V1 / V2 = (1/3 π · (3BC)2 · (3AO)) / (1/3 π · ВС2 · AO) = в 27 раза объем изначального конуса больше объема отсекаемого.
- Осталось найти объем конуса, отсекаемого от исходного конуса, проведенной плоскостью:
V2 = V1 / 27 = 27 / 27 = 1 – объем конуса, отсекаемого от исходного конуса.
Ответ: 1