Задача 13 (№ 1712) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4 высоты. Объем жидкости равен 100 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3 · h · S_ocн = 1/3 · h · π · (D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/4 высоты – V_мен,

объем конуса, наполненный доверху – V_бол

3. Нам известно, что высота большего конуса в 4 раза больше высоты меньшего.
4. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
5. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 4 раза, так как высота треугольника АSВ в 4 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
6. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов.
7. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3 · h · π · (D/2)²

8. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3 · h/4 · π · (D/2/4)² = (1/3 · h · π · (D/2)²) / (4 · 16) = V_бол / 64 = 100 мл

9. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

V_бол / 64 = 100 мл

V_бол = 100 · 64 = 6400 мл

10. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

V_бол – V_мен = 6400 – 100 = 6300 мл необходимо долить.

Ответ: 6300 мл