В сосуде в форме конуса уровень 4/5, объем 80 мл

Задание

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 4/5 высоты. Объем жидкости равен 80 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3·h·S_ocн = 1/3·h·π·(D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 4/5  высоты – V_мен,

объем конуса, наполненный доверху – V_бол

3. Нам известно, что высота большего конуса в 5/4 раза больше высоты меньшего. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 5/4 раза, так как высота треугольника АSВ в 5/4 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
5. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3·h·π·(D/2)²

6. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3·h/(5/4)·π·(D/2/(5/4))² = (1/3·h·π·(D/2)²)/(5/4·20/16) = V_бол/1,5625 = 80 мл

7. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

V_бол/1,5625 = 80 мл
V_бол = 80·1,5625 = 125 мл

10. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

V_бол–V_мен = 125-80 = 45 мл необходимо долить.

Ответ: 45 мл