Объем конуса равен 168, через середину высоты проведено сечение

Задание

Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V=1/3*h*S_ocн=1/3*h*π*(D/2)².

1. Известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.

Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.

2. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3*h*π*(D/2)²

3. Запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3*h/2*π*(D/2/2)² = (1/3*h*π*(D/2)²)/(2*4) = V_бол/8 = 168/8 = 21

21 – объем меньшего конуса.

Ответ: 21