Задача 13 (№ 1749) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 3/4 высоты. Объем сосуда равен 1680 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · S_ocн = 1/3 · h · π · (D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 3/4  высоты – V_3/4,

объем конуса, равный объему сосуда – V_сосуд

3. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 4/3 раза, так как высота треугольника АSВ в 4/3 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
4. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов.
5. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_сосуд = 1/3 · h · π · (D/2)²

6. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_3/4= 1/3 · h/(4/3) · π · (D/2/(4/3))² = (1/3 · h · π · (D/2)²) / (4/3 · 16/9) = V_сосуд / (4/3 · 16/9)

7. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V_3/4= V_сосуд / (4/3 · 16/9) = 1680 / (4/3 · 16/9) = 708,75 мл

Ответ: 708,75 мл