Сосуд в форму конуса, уровень 1/2, объем 70 мл

Задание

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3*h*S_ocн = 1/3*h*π*(D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

• объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – V_мен,
• объем конуса, наполненный доверху – V_бол

3. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
4. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 2 раза, так как высота треугольника АSВ в 2 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
5. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3·h·π·(D/2)²

6. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3·h/2·π·(D/2/2)² = (1/3·h·π·(D/2)²)/(2·4) = V_бол/8 = 70 мл

7. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

V_бол/8 = 70 мл
V_бол = 70·8 = 560 мл

8. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

V_бол–V_мен = 560–70 = 490 мл необходимо долить.

Ответ: 420 мл