Задача 13 (№ 1718) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объем жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

V = 1/3 · h · S_ocн = 1/3 · h · π · (D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 2/3  высоты – V_мен,

объем конуса, наполненный доверху – V_бол

3. Нам известно, что высота большего конуса в 3/2 раза больше высоты меньшего.
4. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
5. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 3/2 раза, так как высота треугольника АSВ в 3/2 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
6. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов.
7. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3 · h · π · (D/2)²

8. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3 · h/(3/2) · π · (D/2/(3/2))² = (1/3 · h · π · (D/2)²) / (3/2 · 9/4) = V_бол / 3,375 = 60 мл

9. Найдем объем заполненного цилиндра, то есть объем большего конуса:

V_бол / 3,375 = 60 мл

V_бол = 60 · 3,375 = 202,5 мл

10. Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:

V_бол – V_мен = 202,5 – 60 = 142,5 мл необходимо долить.

Ответ: 142,5 мл