Задание
Найдите точку максимума функции y=(х+16)*ех — 16
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках.
- Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.
Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная сложной функции: (f(g(x))) ‘ = f ‘ (g(x)) · g ‘ (x)
- Производная от простых математических функций: (ex) ‘ = ex ; С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(х+16)eх – 16:
y‘ = ((х + 16)eх – 16)‘ = (х + 16)‘ · eх – 16 + (х + 16) · (eх – 16)‘ = (х‘+ 16‘) · eх – 16 + (х + 16) · (eх – 16)‘ · (х – 16)‘ = (1 + 0) · eх – 16 + (х + 16) · eх – 16 · (х‘ — 16‘) = eх – 16 + (х + 16) · eх – 16 · (1 – 0) = eх – 16(1 + х + 16) = eх – 16(х + 17)
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
eх – 16(х + 17) = 0
Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому
х+17 = 0
х = -17
Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.
Ответ: -17
