Найдите точку максимума функции y=(х+16)*е^(х-16)

Задание

Найдите точку максимума функции y=(х+16)*ех — 16

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:
  • Находим производную от данной функции;
  • Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).
  • Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  • Находим значение данной функции в выбранных точках.
  • Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.

  1. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
  • Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)
  • Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.
  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(х+16)eх – 16:

y = ((х + 16)eх – 16) = (х + 16) · eх – 16 + (х + 16) · (eх – 16) = (х+ 16) · eх – 16 + (х + 16) · (eх – 16) · (х – 16) = (1 + 0) · eх – 16 + (х + 16) · eх – 16 · (х — 16) = eх – 16 + (х + 16) · eх – 16 · (1 – 0) = eх – 16(1 + х + 16) = eх – 16(х + 17)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 16(х + 17) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х+17 = 0
х = -17

Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -17

smartrepetitor.ru

Добавить комментарий

Adblock
detector