Задание
Найдите наименьшее значение функции y=7cosx-17x+7 на отрезке [-3π/2;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
- Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (cosx)‘ = -sinx, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции у=7cosx-17x+7:
y‘ = (7cosx-17x+7)‘ = (7cosx)‘ — (17x)‘+(7)‘ = -7sinx-17+0 = -7sinx-17
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
-17sinx-17 = 0
-7sinx = 17
sinx = -17/7
Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может. Следовательно, стационарных точек нет.
- Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х=-3π/2 и х=0.
у(-3π/2) = 7cos(-3π/2)-17·(-3π/2)+7 = 7·0+51π/2+7 = 25,5π+7
у(0) = 7cos0-17·0+7 = 7·1+7 = 14
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у = 14.
Ответ: 20
