Задание 14 (№ 3447)

Найдите наименьшее значение функции y = 7 cosx — 17x + 7 на отрезке [-3π/2;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (cosx) = -sinx,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 7 cosx — 17x + 7:

y = (7cosx — 17x + 7) = (7 cosx) — (17x) + (7) = — 7 sinx  – 17 + 0 = -7 sinx — 17

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

-17 sinx — 17 = 0

-7 sinx = 17

sinx = — 17 / 7

Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

  1. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -3π/2 и х = 0.

у(-3π/2) = 7 cos(-3π/2) – 17 · (-3π/2) + 7 = 7 · 0 + 51π/2 + 7 = 25,5π + 7

у(0) = 7 cos0 – 17 · 0  + 7 = 7 · 1 + 7 = 14

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у = 14.

Ответ: 20

 

smartrepetitor.ru
Adblock
detector