Задача 13 (№ 1764) — В сосуде, имеющем форму конуса

Условие

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем сосуда 1080 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:

 V = 1/3 · h · S_ocн = 1/3 · h · π · (D/2)².

2. Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов:

объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2  высоты – V_1/2,

объем конуса, равный объему сосуда – V_сосуд

3. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в 2 раза, так как высота треугольника АSВ в 2 раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
4. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов.
5. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_сосуд = 1/3 · h · π · (D/2)²

6. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_1/2 = 1/3 · h/2 · π · (D/2/2)² = (1/3 · h · π · (D/2)²) / (2 · 4) = V_сосуд / 8

7. Осталось подставить объем сосуда в полученную формулу и найти объем налитой жидкости:

V_1/2 = V_сосуд / 8 = 1080 / 8 = 135 мл

Ответ:  135 мл