Задание
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
Решение
- Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга:
V = 1/3 * h * Socн = 1/3 * h * π * (D/2)2
- Для решения данной задачи будем рассматривать объемы двух конусов: объем конуса, у которого уровень жидкости равен 1/2 высоты – Vмен, объем конуса, наполненный доверху – Vбол
- Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А‘SВ‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А‘В‘ в два раза, так как высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А‘SВ‘.
- АВ и А‘В‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:
Vбол = 1/3 * h * π * (D/2)2
- Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:
Vмен = 1/3 * h/2 * π * (D/2/2)2 = (1/3 * h * π * (D/2)2) / (2 * 4) = Vбол / 8 = 30мл
- Найдем объем большего конуса:
Vбол / 8 = 30мл
Vбол = 30 · 8 = 240 мл
- Осталось вычислить, сколько жидкости необходимо долить, чтобы заполнить сосуд доверху:
Vбол – Vмен = 240 – 30 = 210 мл необходимо долить.
Ответ: 210 мл