Объем конуса равен 128, через середину проведено сечение

Задание

Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

1. Объем конуса равен 1/3 произведения его высоты на площадь основания, а площадь основания — это площадь круга: V=1/3*h·S_ocн=1/3·h·π·(D/2)².
2. Нам известно, что высота большего конуса в два раза больше высоты меньшего. Определим во сколько раз основание меньшего конуса меньше большего.
3. Для удобства введем буквенные обозначения, как показано на рисунке, и рассмотрим треугольники АSВ и А^‘SВ^‘. Данные треугольники подобны. Из этого делаем вывод, что основание АВ больше основания А^‘В^‘ в два раза, так высота треугольника АSВ в два раза больше высоты треугольника А^‘SВ^‘.
4. АВ и А^‘В^‘ являются диаметрами оснований конусов. Запишем, чему равен объем большего конуса в буквенном виде:

V_бол = 1/3·h·π·(D/2)²

5. Теперь запишем, чему равен объем меньшего конуса и преобразуем получившееся выражение:

V_мен = 1/3·h/2·π·(D/2/2)² = (1/3·h·π·(D/2)²)/(2·4) = V_бол/8 = 128/8 = 16 – объем меньшего конуса.

Ответ: 16