Задание 14 (№ 3777)

Найдите точку максимума функции y = (х + 13) · е ^{х – 13}

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках.

5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

-Производная сложной функции: (f(g(x))) ^‘= f ^‘ (g(x)) · g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘= e^x ; С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С · х^‘, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 13)e^{х – 13}:

y^‘ = ((х + 13)e^{х – 13})^‘ = (х + 13)^‘ · e^{х – 13} + (х + 13) · (e^{х – 13})^‘ = (х^‘+ 13^‘) · e^{х – 13}+ (х + 13) · (e^{х – 13})^‘ · (х – 13)^‘ = (1 + 0) · e^{х – 13} + (х + 13) · e^{х – 13} · (х^‘ — 13^‘) = e^{х – 13} + (х + 13) · e^{х – 13}· (1 – 0) = e^{х – 13}(1 + х + 13) = e^{х – 13}(х + 14)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^{х – 13}(х + 14) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х + 14 = 0

х = -14

Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.

Ответ: -14