Найдите точку максимума функции y = (х + 13) · е х – 13
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
1)Находим производную от данной функции;
2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю, эти точки являются экстремумами (экстремумы – это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение на выбранном отрезке).
3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
4)Находим значение данной функции в выбранных точках.
5)Выбираем среди них наименьшее (минимум) или наибольшее (максимум), это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
- В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
-Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
-Производная сложной функции: (f(g(x))) ‘ = f ‘ (g(x)) · g ‘ (x)
-Производная от простых математических функций: (ex) ‘ = ex ; С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х + 13)eх – 13:
y‘ = ((х + 13)eх – 13)‘ = (х + 13)‘ · eх – 13 + (х + 13) · (eх – 13)‘ = (х‘+ 13‘) · eх – 13 + (х + 13) · (eх – 13)‘ · (х – 13)‘ = (1 + 0) · eх – 13 + (х + 13) · eх – 13 · (х‘ — 13‘) = eх – 13 + (х + 13) · eх – 13 · (1 – 0) = eх – 13(1 + х + 13) = eх – 13(х + 14)
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
eх – 13(х + 14) = 0
Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому
х + 14 = 0
х = -14
- Получили одну стационарную точку, то есть одну точку экстремума, которая и является точкой максимума.
Ответ: -14