Задание
Найдите наибольшее значение функции y=8tgх-8х+5 на отрезке [-π/4;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
- Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (tgx)‘ = 1 / cos2 x, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 8tgх – 8х + 5:
y‘ = (8tgх-8х+5)‘ = (8tgх)‘-(8х)‘+(5)‘ = 8/cos2x-8+0 = 1/cos2x-1
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
1/cos2x-1 = 0
1/cos2x = 1
cos2x = 1
cosx = ±1
- Если cos x = 1, то х = 2πk, k – любое целое число.
- Если cos x = — 1, то х = π+2πk, k – любое целое число.
Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.
- Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.
у(-π/4) = 8tg(-π/4)-8·(-π/4)+5 = 8·(-1)+2π+5 = -3+2π
у(0) = 8tg0-8·0+2 = 8·0-0+5 = 5
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у=5.
Ответ: 5
