Задание 14 (№ 3597)

Найдите наибольшее значение функции y = 5tgх – 5х + 4 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 5tgх – 5х + 4:

y = (5tgх – 5х + 4) = (5tgх) — (5х) + (4) = 5 / cos2 x – 5 + 0 = 1 / cos2 x – 1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1 / cos2 x – 1 = 0

1 / cos2 x =  1

cos2 x = 1

cos x = ± 1

1)Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.

2)Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это

х = 0, при k = 0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 5tg(-π/4) – 5 · (-π/4) + 4 = 5 · (-1) + 1,25π  + 4 = -1 + 1,25π

у(0) = 5tg0 – 5 · 0 + 4 = 5 · 0 – 0  + 4 = 4

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 4.

Ответ: 4

smartrepetitor.ru
Adblock
detector