y=9tgх-9х+8 найдите наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0]

Задание

Найдите наибольшее значение функции y=9tgх-9х+8 на отрезке [-π/4;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:
  • Находим производную от данной функции;
  • Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
  • Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  • Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
  • Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
  • Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (tgx) = 1 /  cos2 x,  где С – постоянное число.
  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 9tgх-9х+8:

y = (9tgх-9х+8) = (9tgх)-(9х)+(8) = 9/cos2x-9+0 = 1/cos2x-1

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

1/cos2x-1 = 0
1/cos2x = 1
cos2x = 1
cosx = ±1

  • Если cos x =  1, то х = 2πk, k – любое целое число.
  • Если cos x =  — 1, то х = π + 2πk, k – любое целое число.

Определим, какие значения х попадают в отрезке [-π/4;0]. Это х=0, при k=0 (для первого варианта) – стационарная точка.

  1. Теперь определим значение исходной функции в стационарной точке и на концах отрезках, то есть в точках х = -π/4 и х = 0.

у(-π/4) = 9tg(-π/4)-9·(-π/4)+8 = 9·(-1)+2,5π+8 = -1+2,5π
у(0) = 9tg0-9·0+8 = 9·0-0+8 = 8

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/4;0] равно у = 8.

Ответ: 8

Оцените статью
smartrepetitor.ru
Добавить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.