Задание
Найдите наибольшее значение функции y=8х-7sinx+7 на отрезке [-π/2;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
- Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f · g)‘ = f ‘ · g + g ‘ ·f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (sinx)‘ = cosx, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 8х — 7 sin x + 7:
y‘ = (8х — 7 sin x + 7)‘ = (8х)‘ — (7 sin x)‘ + (7)‘ = 8 – 7 cosx + 0 = 8 – 7 cosx
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
8-7cosx = 0
-7cosx = -8
cosx = 8/7
Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может. Следовательно, стационарных точек нет.
- Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х = 0.
у(-π/2) = 8·(-π/2)-7 sin(-π/2)+7 = -4π-7·(-1)+7 = -4π+14
у(0) = 8·0-7sin0+7 = 0-0+7 = 7
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у=7.
Ответ: 7
