Задание 14 (№ 3465)

Найдите наибольшее значение функции y = 7х — 2 sin x + 7 на отрезке [-π/2;0].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, (sinx) = cosx,  где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 7х — 2 sin x + 7:

y = (7х — 2 sin x + 7) = (7х) — (2 sin x) + (7) = 7 – 2 cosx + 0 = 7 – 2 cosx

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

7 – 2 cosx = 0

-2 cosx = -7

cosx = 7 / 2

Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

  1. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х = 0.

у(-π/2) = 7 · (-π/2) — 2 sin( -π/2) + 7 = -3,5π – 2 · (-1) + 7 = -3,5π + 9

у(0) = 7 · 0 — 2 sin 0 + 7  = 0 – 0  + 7 = 7

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у = 7.

Ответ: 7

smartrepetitor.ru
Adblock
detector