y=7х-2sinx+7 найдите наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0]

Задание

Найдите наибольшее значение функции y=7х-2sinx+7 на отрезке [-π/2;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f·g)^‘ = f ^‘·g+g^‘·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f±g)^‘ = f^‘±g ^‘

-Производная от простых математических функций: С^‘ = 0; x^‘=0; (С·х)^‘ = С·х^‘ , (sinx)^‘=cosx,  где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 7х-2sinx+7:

y^‘ = (7х-2sinx+7)^‘ = (7х)^‘-(2sinx)^‘+(7)^‘ = 7-2cosx+0 = 7-2 cosx

3. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

7-2cosx = 0
-2cosx = -7
cosx = 7/2

Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

5. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х=0.

у(-π/2) = 7·(-π/2)-2sin(-π/2)+7 = -3,5π-2·(-1)+7 = -3,5π+9
у(0) = 7·0-2sin0+7 = 0-0+7 = 7

6. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у=7.

Ответ: 7