Задание
Найдите наибольшее значение функции y = 7х — 6 sin x + 8 на отрезке [-π/2;0].
Решение
Задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
- Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f * g)‘ = f ‘ * g + g ‘ * f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С * х)‘ = С * х‘ , (sinx)‘ = cosx, где С – постоянное число.
С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 7х — 6 sin x + 8:
y‘ = ( 7х — 6 sin x + 8 )‘ = (7х)‘ — (6 sin x)‘ + (8)‘ = 7 – 6 cosx + 0 = 7 – 6 cosx
Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
7 – 6 cosx = 0
-6 cosx = -7
cosx = 7 / 6
Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может. Следовательно, стационарных точек нет.
Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х = 0.
у(-π/2) = 7 * (-π/2) — 6 sin( -π/2) + 8 = -3,5π – 6 * (-1) + 8 = -3,5π + 14
у(0) = 7 * 0 — 6 sin 0 + 8 = 0 – 0 + 8 = 8
Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у = 8.
Ответ: 8
