Найдите наибольшее значение функции y=7х-6sinx+8

Задание

Найдите наибольшее значение функции y = 7х — 6 sin x + 8 на отрезке [-π/2;0].

Решение

Задача решается по следующему алгоритму:

  1. Находим производную от данной функции;
  2. Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
  3. Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  4. Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
  5. Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.

В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

  • Производная от произведения двух множителей: (f * g) = f * g +  g * f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная от простых математических функций: С= 0; x = 0; (С * х) = С * х, (sinx) = cosx,  где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y = 7х — 6 sin x + 8:

y = ( 7х — 6 sin x + 8 ) = (7х) — (6 sin x) + (8) = 7 – 6 cosx + 0 = 7 – 6 cosx

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

7 – 6 cosx = 0
-6 cosx = -7
cosx = 7 / 6

Данное уравнение решений не имеет, так как косинус быть больше 1 не может. Следовательно, стационарных точек нет.

Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -π/2 и х = 0.

у(-π/2) = 7 * (-π/2) — 6 sin( -π/2) + 8 = -3,5π – 6 * (-1) + 8 = -3,5π + 14
у(0) = 7 * 0 — 6 sin 0 + 8  = 0 – 0  + 8 = 8

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [-π/2;0] равно у = 8.

Ответ: 8

smartrepetitor.ru
Adblock
detector