Задание
Найдите наименьшее значение функции y=9*cosx-13x+3 на отрезке [-3π/2;0].
Решение
- Данная задача решается по следующему алгоритму:
- Находим производную от данной функции;
- Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
- Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
- Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
- Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
- Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
- Производная от произведения двух множителей: (f*g)‘ = f ‘*g+g ‘*f
- Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)‘ = f ‘ ± g ‘
- Производная от простых математических функций: С‘ = 0; x‘ = 0; (С · х)‘ = С · х‘ , (cosx)‘ = -sinx, где С – постоянное число.
- С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 9 cosx — 13x + 3:
y‘ = (9cosx-13x+3)‘ = (9*cosx)‘-(13x)‘+(3)‘ = -9*sinx-13+0 = -9*sinx-13
- Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):
-9*sinx-13 = 0
-9*sinx = 13
sinx = -13/9
Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может. Следовательно, стационарных точек нет.
- Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -3π/2 и х=0.
у(-3π/2) = 9*cos(-3π/2)-13*(-3π/2)+3 = 9*0+39π/2+3 = 19,5*π+3
у(0) = 9*cos0-13*0+3 = 9*1+3 = 12
- Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у = 12.
Ответ: 12
