y=13*cosx-15x+7 найдите наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=13*cosx-15x+7 на отрезке [-3π/2;0].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• -Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• -Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• -Производная от простых математических функций: С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (cosx)^‘ = -sinx,  где С – постоянное число.

4. С помощью данных формул находим производную исходной функции у = 13cosx-15x+7:

y^‘ = (13cosx-15x+7)^‘ = (13cosx)^‘-(15x)^‘+(7)^‘ = -13sinx-15+0 = -13sinx-15

5. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

-13sinx-15 = 0
-13sinx = 15
sinx = -15/13

Данное уравнение решений не имеет, так как синус быть меньше -1 не может.

Следовательно, стационарных точек нет.

6. Значит, определим значение исходной функции на концах отрезках, то есть в точках х = -3π/2 и х=0.

у(-3π/2) = 13cos(-3π/2)-15·(-3π/2)+7 = 13·0 + 45π/2+7= 22,5π+7
у(0) = 13cos0-15·0+7 = 13·1+7 = 20

7. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [-3π/2;0] равно у=20.

Ответ: 20