y=7√2cosx+7x-7π/4+9 найдите наибольшее значение функции на отрезке [0;π/2]

Просмотров 674 Обновлено 13.03.2023

Задание

Найдите наибольшее значение функции y = 7√2cosx+7x-7π/4+9 на отрезке [0;π/2].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

Находим производную от данной функции;

Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

Производная от простых математических функций: С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С · х^‘, (cosx)^‘ = -sinx, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции у=7√2cosx+7x-7π/4+9:

y^‘ = (7√2cosx+7x-7π/4+9)^‘ = (7√2cosx)^‘+(7x)^‘-(7π/4)^‘+(9)^‘ = -7√2sinx+7-0+0 = -7√2sinx+7

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

-7√2sinx+7 = 0
-7√2sinx = -7
sinx = 7/7√2
sinx = 1/√2 = √2/2

Получили простое тригонометрическое уравнение, решение которого находится по общей формуле:

sinx = A, A < 1, х = (-1)^k · arcsinA + πk, k – любое целое число.

Применяем данную формулу к нашему уравнению. Получаем:

х = (-1)^k·arcsin( / 2)+πk;
х = (-1)^k·π/4+πk, k – любое целое число.

Определим, какое из значений попадает на отрезок [0;π/2]:

х = π/4 (при k = 0) – принадлежит отрезку [0;π/2].

Определим значение исходной функции в стационарной точке х = π/4 и значения функции на концах отрезках, то есть в точках х = 0 и х = π/4.

у(π/4) = 7√2cos(π/4)+7·π/4-7π/4+9 = 7√2·√2/2+7π/4-7π/4+9 = 7+9 = 16
у(0) = 7√2cos(0)+7·0-7π/4+9 = 7√2·1+0-7π/4+9 = 7√2-7π/4+9
у(π/2) = 7√2cos(π/2)+7·π/2-7π/4+9 = 7√2·0+7π/2-7π/4+9 = 7π/4+9