Наибольшее значение функции y=12√2cosx+12x-3π+9

Задание

Найдите наибольшее значение функции y = 12*√2*cosx+12x-3π+9 на отрезке [0;π/2].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• -Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘·g+g^‘·f
• -Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• -Производная от простых математических функций: С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , (cosx)^‘ = -sinx,  где С – постоянное число.

3. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=12√2*cosx+12x-3π+9:

y^‘ = (12√2*cosx+12x-3π+9)^‘ = (12√2*cosx)^‘+(12x)^‘-(3π)^‘+(9)^‘ = -12√2*sinx+12-0+0 = -12*sinx+12

5. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

-12√2*sinx+12 = 0
-12√2*sinx = -12
sinx = 12√2/12
sinx = 1/√2  = √2/2

Получили простое тригонометрическое уравнение, решение которого находится по общей формуле:

sinx = A, A < 1, х = (-1)^k · arcsinA + πk, k – любое целое число.

Применяем данную формулу к нашему уравнению. Получаем:

х = (-1)^k·arcsin(√2/2)+πk;
х = (-1)^k·π/4+πk, k – любое целое число.

6. Определим, какое из значений попадает на отрезок [0;π/2]:

х = π/4 (при k = 0) – принадлежит отрезку [0;π/2].

7. Определим значение исходной функции в стационарной точке х = π/4 и значения функции на концах отрезках, то есть в точках х = 0 и х = π/4.

у(π/4) = 12√2*cos(π/4)+12·π/4-3π+9 = 12√2·√2/2+3π-3π+9 = 12+9 = 21
у(0) = 12√2*cos(0)+12·0-3π+9 = 12√2·1+0-3π+9 = 12√2-3π+9
у(π/2) = 12√2*cos(π/2)+12·π/2-3π+9 = 12√2·0+6π-3π+9 = 3π+9

8. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наибольшее значение функции на отрезке [0;π/2] равно у = 21.

Ответ: 21