Наименьшее значение функции y=(х-10)e^х-9

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=(х-10)e^х-9 на отрезке [8;10].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

Находим производную от данной функции;
Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

-Производная сложной функции: (f(g(x))) ^‘= f ^‘ (g(x)) · g ^‘ (x)

-Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘= e^x ; С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С · х^‘, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 10)e^{х — 9}:

y^‘ = ((х – 10)e^{х – 9})^‘ = (х – 10)^‘ · e^{х – 9} + (х – 10) · (e^{х – 9})^‘ = (х^‘ — 10^‘) · e^{х – 9} + (х – 10) · (e^{х – 9})^‘ · (х – 9)^‘ = (1 – 0) · e^{х – 9} + (х – 10) · e^{х – 9} · (х^‘ — 9^‘) = e^{х – 9} + (х – 10) · e^{х – 9}· (1 – 0) = e^{х – 9}(1 + х – 10) = e^{х – 9}(х – 9)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^{х – 9}(х – 9) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х-9 = 0
х = 9

Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [8;10]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 8 и х = 10.

у(9) = (9–10)e^9–9 = -1·1 = -1
у(8) = (8–10)e^8–9 = -2·e^-1 ≈ -0,74
у(10) = (10–10)e^10–9 = 0·e¹ = 0

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [8;10] равно у = -1.

Ответ: -1