y=(х-13)e^(х-12) найдите наименьшее значение функции на отрезке [11;13]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=(х-13)e^х-12 на отрезке [11;13].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

Находим производную от данной функции;
Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

Производная сложной функции: (f(g(x))) ^‘= f ^‘ (g(x)) · g ^‘ (x)

Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘= e^x ; С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С · х^‘, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х–13)e^х-12:

y^‘ = ((х–13)e^х–12)^‘ = (х–13)^‘·e^х–12+(х–13)·(e^х–12)^‘ = (х^‘-13^‘)·e^х–12+(х–13)·(e^х–12)^‘·(х–12)^‘ = (1–0)·e^х–12+(х–13)·e^х–12·(х^‘-12^‘) = e^х–12+(х–13)·e^х–12·(1–0) = e^х–12(1+х–13) = e^х–12(х–12)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^х–12(х–12) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х–12 = 0
х = 12

Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [11;13]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х=11 и х=13.

y(12) = (12–13)e^12–12 = -1·1 = -1
у(11) = (11–13)e^11–12 = -2·e^-1 ≈ -0,74
у(13) = (13-13)e^13-11 = 0·e¹ = 0

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [11;13] равно у = -1.

Ответ: -1