Задание 14 (№ 3385)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 6)eх — 5 на отрезке [4;6].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 6)eх — 5:

y = ((х – 6)eх – 5) = (х – 6) · eх – 5 + (х – 6) · (eх – 5) = (х — 6) · eх – 5 + (х – 6) · (eх – 5) · (х – 5) = (1 – 0) · eх – 5 + (х – 6) · eх – 5 · (х — 5) = eх – 5 + (х – 6) · eх – 5 · (1 – 0) = eх – 5(1 + х – 6) = eх – 5(х – 5)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 5(х – 5) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 5 = 0

х = 5

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [4;6]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 4 и х = 6.

у(5) = (5 – 6)e5 – 5 = -1 · 1 = -1

у(4) = (4 – 6)e4 – 5 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(6) = (6 – 6)e6– 5 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [4;6] равно у = -1.

Ответ: — 1

smartrepetitor.ru
Adblock
detector