Найдите наименьшее значение функции y=(х-6)e^х-5 на отрезке [4;6]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=(х-6)e^х-5 на отрезке [4;6].

Решение

1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

• Находим производную от данной функции;
• Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
• Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
• Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
• Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

2. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

• Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g +  g ^‘ ·f
• Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ±  g ^‘
• Производная сложной функции:  (f(g(x))) ^‘ = f ^‘ (g(x)) ·  g ^‘ (x)
• Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘ = e^x ; С^‘ = 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘  = С · х^‘ , где С – постоянное число.

3. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 6)e^{х — 5}:

y^‘ = ((х – 6)e^{х – 5})^‘ = (х – 6)^‘ · e^{х – 5} + (х – 6) · (e^{х – 5})^‘ = (х^‘ — 6^‘) · e^{х – 5} + (х – 6) · (e^{х – 5})^‘ · (х – 5)^‘ = (1 – 0) · e^{х – 5} + (х – 6) · e^{х – 5} · (х^‘ — 5^‘) = e^{х – 5} + (х – 6) · e^{х – 5} · (1 – 0) = e^{х – 5}(1 + х – 6) = e^{х – 5}(х – 5)

4. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^{х – 5}(х – 5) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х-5 = 0
х = 5

5. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [4;6]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 4 и х = 6.

у(5) = (5-6)e^5-5 = -1*1 = -1
у(4) = (4-6)e^4-5 = -2*e^-1 ≈ -0,74
у(6) = (6-6)e^6-5 = 0*e¹ = 0

6. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [4;6] равно у = -1.

Ответ: — 1