y=(х-8)e^х-7 найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=(х–8)e^х-7 на отрезке [6;8].

Решение

Данная задача решается по следующему алгоритму:

Находим производную от данной функции;

Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

Производная от произведения двух множителей: (f · g)^‘ = f ^‘ · g + g ^‘ ·f

Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g)^‘ = f ^‘ ± g ^‘

Производная сложной функции: (f(g(x))) ^‘= f ^‘ (g(x)) · g ^‘ (x)

Производная от простых математических функций: (e^x) ^‘= e^x ; С^‘= 0; x^‘ = 0; (С · х)^‘ = С · х^‘, где С – постоянное число.

С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(х–8)e^х–7:

y^‘ = ((х–8)e^х–7)^‘ = (х–8)^‘·e^х–7+(х–8)·(e^х–7)^‘ = (х^‘-8^‘)·e^х–7+(х–8)·(e^х–7)^‘·(х–7)^‘ = (1–0)·e^х–7+(х–8)·e^х–7·(х^‘-7^‘) = e^х–7+(х–8)·e^х–7·(1–0) = e^х–7(1+х–8) = e^х–7(х–7)

Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

e^х–7(х–7) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х–7 = 0
х = 7

Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [6;8]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х=6 и х=8.

у(7) = (7–8)e^7–7 = -1·1 = -1
у(6) = (6–8)e^6–7 = -2·e^-1 ≈ -0,74
у(8) = (8–8)e^8–7 = 0·e¹ = 0

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [6;8] равно у = -1.

Ответ: — 1