y=(х-8)e^х-7 найдите наименьшее значение функции на отрезке [6;8]

Задание

Найдите наименьшее значение функции y=(х–8)eх-7 на отрезке [6;8].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:
  • Находим производную от данной функции;
  • Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.
  • Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.
  • Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).
  • Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.
  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:
  • Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f
  • Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g
  • Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)
  • Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.
  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y=(х–8)eх–7:

y = ((х–8)eх–7) = (х–8)·eх–7+(х–8)·(eх–7) = (х-8)·eх–7+(х–8)·(eх–7)·(х–7) = (1–0)·eх–7+(х–8)·eх–7·(х-7) = eх–7+(х–8)·eх–7·(1–0) = eх–7(1+х–8) = eх–7(х–7)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх–7(х–7) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х–7 = 0
х = 7

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [6;8]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х=6 и х=8.

у(7) = (7–8)e7–7 = -1·1 = -1
у(6) = (6–8)e6–7 = -2·e-1 ≈ -0,74
у(8) = (8–8)e8–7 = 0·e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [6;8] равно у = -1.

Ответ: — 1

Оцените статью
smartrepetitor.ru
Добавить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.