Задание 14 (№ 3383)

Найдите наименьшее значение функции y = (х – 8)eх — 7 на отрезке [6;8].

Решение

  1. Данная задача решается по следующему алгоритму:

1)Находим производную от данной функции;

2)Находим стационарные точки, то есть точки, в которых производная равна нулю.

3)Выбираем из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок.

4)Находим значение данной функции в выбранных точках, и в точках на конца отрезка (так как скобки квадратные).

5)Выбираем среди них наименьшее или наибольшее, это зависит от условия задачи.

  1. Теперь по этим пунктам начинаем решать нашу задачу.
  2. В первую очередь найдем производную функции. Для этого нам необходимо уметь находить производную от произведения, суммы, сложной функции, математических функций:

-Производная от произведения двух множителей: (f · g) = f · g +  g ·f

-Производная суммы (разницы) двух любых выражений: (f ± g) = f ±  g

-Производная сложной функции:  (f(g(x))) = f (g(x)) ·  g (x)

-Производная от простых математических функций: (ex) = ex ; С= 0; x = 0; (С · х) = С · х, где С – постоянное число.

  1. С помощью данных формул находим производную исходной функции y = (х – 8)eх – 7:

y = ((х – 8)eх – 7) = (х – 8) · eх – 7 + (х – 8) · (eх – 7) = (х — 8) · eх – 7 + (х – 8) · (eх – 7) · (х – 7) = (1 – 0) · eх – 7 + (х – 8) · eх – 7 · (х — 7) = eх – 7 + (х – 8) · eх – 7 · (1 – 0) = eх – 7(1 + х – 8) = eх – 7(х – 7)

  1. Производная от функции найдена. Приравняем данную производную к нулю, тем самым найдет стационарные точки, по-другому экстремумы функции (в точках экстремумах производная функции равна 0):

eх – 7(х – 7) = 0

Получили произведение, которое равно 0. Первый множитель равен нулю быть не может, поэтому

х – 7 = 0

х = 7

  1. Получили одну стационарную точку. Данная точка лежит в рассматриваемом отрезке [6;8]. Поэтому в этой точке будем определять значение функции. Так же будем определять значение функции на концах отрезках, то есть в точках х = 6 и х = 8.

у(7) = (7 – 8)e7 – 7 = -1 · 1 = -1

у(6) = (6 – 8)e6 – 7 = -2 · e-1 ≈ -0,74

у(8) = (8 – 8)e8– 7 = 0 · e1 = 0

  1. Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что наименьшее значение функции на отрезке [6;8] равно у = -1.

Ответ: — 1

smartrepetitor.ru
Adblock
detector