Скорость первого автомобиля, если она больше 48 км/ч

Задание

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

1. Для решения данной задачи необходимо знать зависимость между расстоянием, скоростью и временем:

S = v·t, где S – расстояние пройденное за время t при скорости v.

Из этой зависимости можно спокойно выразить и время, и скорость.

2. Возьмем расстояние между пунктами А и В за единицу, то есть S=1.
3. Пусть х (км/ч) – скорость первого автомобиля. Тогда время, за которое прошел путь первый автомобиль, равно:

t₁ = 1/x

4. Известно, что второй автомобиль первую половину пути прошел со скоростью на 13 км/ч меньшей, чем у первого автомобиля, то есть

x-13 (км/ч) – скорость второго автомобиля на первой половине пути. Вторую половину пути второй автомобиль прошел со скоростью 78 км/ч.

5. Тогда время, за которое прошел второй автомобиль весь путь, равно:

t₂ = 0,5/(x-13)+0,5/78

6. Известно, что автомобили выехали и приехали одновременно, то есть t₁=t₂. Получим уравнение:

1/x = 0,5/(х-13)+0,5/78

Осталось решить данное уравнение (приводим всё к общему знаменателю):

1/x = (0,5·78+0,5·(х-13))/78(х-13)
1/x = (39+0,5х-6,5)/78(х-13)
1/x = (32,5+0,5х)/78(х-13)
1/x-(32,5+0,5х)/78(х-13) = 0
(78(х-13)-х(32,5+0,5х))/78х(х-13) = 0

Дробь равна 0 только тогда, когда числитель равен 0:

78(х-13)-х(32,5+0,5х)= 0
78х-13·78-32,5х-0,5х² = 0
-0,5х²+45,5х-1014 = 0
х²-91+2028 = 0

Решим квадратное уравнение c помощью теоремы Виета:

х₁ = 52
х₂ = 39

Известно, что скорость первого автомобиля больше 48 км/ч, поэтому 52 км/ч – скорость первого автомобиля.

Ответ: 52