Месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб.

Задание

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой  q=70-2*p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p)=q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Решение

1. Подставим в формулу r(p) = q p вместо q  зависимость q=70-2p:

r(p) = (70-2*p)·p

2. Раскроем скобки:

r(p) = (70-2*p)·p
r(p) = 70*р-2*р²
70*р-2*р²-r(p) = 0

3. Подставим минимальную выручку и найдем наибольшую цену, при которой данная выручка достигается:

70*р-2р²-600 = 0
35*р-р²-300 = 0
р²-35*р+300 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² – 4ac

D = 35²-4·1·300 = 25

р_1,2  =( -b ± √D) / 2a

р₁ = (35+5)/2 = 20 тыс. руб.
р₂ = (35-5)/2 = 15 тыс. руб.

Получили 2 варианта, при которых выручка составит 600 тыс. руб. Выберем из них наибольший:

20 тыс. руб. – наибольшая цена, при которой выручка составит не менее 600 тыс. руб.

Ответ: 20