Выручка составит не менее 160 тыс. руб, определите цену p

Задание

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой  q = 60-5*p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p) = q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 160 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Решение

1. Подставим в формулу r(p) = q*p вместо q  зависимость q = 60-5*p:

r(p) = (60-5*p)*p

2. Раскроем скобки:

r(p) = (60-5*p)*p
r(p) = 60*р-5*р²
60р-5р²-r(p) = 0

3. Подставим минимальную выручку и найдем наибольшую цену, при которой данная выручка достигается:

60р-5р²-160 = 0
12р-р²-32 = 0
р²-12р+32 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b²–4ac

D = 12²-4·1·32 = 16
р_1,2  =(-b±)/2a
р₁ = (12+4)/2 = 8 тыс. руб.
р₂ = (12-4 )/2 = 4 тыс. руб.

Получили 2 варианта, при которых выручка составит 160 тыс. руб. Выберем из них наибольший: 8 тыс. руб. – наибольшая цена, при которой выручка составит не менее 160 тыс. руб.

Ответ: 8