Определите цену p, при которой месячная выручка составит не менее 360 тыс. руб

Задание

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой  q=130-10*p. Выручка предприятия r (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p)=q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

Решение

1. Подставим в формулу r(p) = q p вместо q  зависимость q=130-10*p:

r(p) = (130-10*p)·p

2. Раскроем скобки:

r(p) = (130-10*p)·p
r(p) = 130*р–10*р²
130р–10*р²-r(p) = 0

3. Подставим минимальную выручку и найдем наибольшую цену, при которой данная выручка достигается:

130*р–10*р²-360 = 0
13р-р²-36 = 0
р²-13*р+36 = 0

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b²–4ac

D = 13²-4·1·36 = 25
р_1,2  =(-b±√D)/2a
р₁ = (13+5)/2 = 9 тыс. руб.
р₂ = (13-5)/2 = 4 тыс. руб.

Получили 2 варианта, при которых выручка составит 360 тыс. руб. Выберем из них наибольший:

9 тыс. руб. – наибольшая цена, при которой выручка составит не менее 360 тыс. руб.

Ответ: 9